Un’equazione è irrazionale se contiene almeno un radicale nel cui radicando compare l’incognita.
Ad esempio
, è un’equazione irrazionale;
, non è un’equazione irrazionale.
Data un’equazione A(x)=B(x), consideriamo l’equazione 
:
· se n è pari, essa ha come soluzioni, oltre a quelle di A(x)=B(x), anche quelle di A(x)=-B(x);
· se n è dispari, essa è equivalente a quella data.
N.B.: Prova a risolvere la seguente equazione
e l’equazione
Si ottengono le stesse soluzioni? Le due equazioni sono equivalenti?
[La prima equazione dà come soluzione 
, la seconda invece
Per risolvere un’equazione irrazionale
è necessario “liberarci” in qualche modo dei radicali presenti, per ricondurre il problema alla soluzione di una equazione razionale che ci dia buone informazioni sulle soluzioni dell’equazione iniziale. Per fare questo operativamente dobbiamo:
· elevare a n entrambi i membri dell’equazione;
· controllare se n è pari o dispari: se n è dispari, le soluzioni dell’equazione ottenuta sono le stesse dell’equazione irrazionale; se n è pari, possiamo eseguire il controllo delle soluzioni mediante verifica.
Esempio
Elevando entrambi i membri al quadrato otteniamo
Questi valori saranno anche soluzione dell’equazione di partenza?
Per verificarlo sostituiamo 7 e 2 nell’equazione irrazionale data.
Sostituiamo x=7
thanatos detto,
Febbraio 22, 2008 @ 7:45 pm
Per prima cosa si deve verificare che la radice esista nell’insieme dei numeri reali perciò si deve fare la condizione di esistenza della radice.
CE* x^2+3x-6>=0 risolvendo con l’equazione associata otteniamo (-∞;(-3-√33)/2] U [(-3+√33)/2;+∞)
infatti se la radice nn esistesse l’equazione non avrebbe senso.
adesso isolo al secondo membro la parte fuori dalla radice (in questo caso è già nella forma radice=altri termini). al primo membro ho una quantità sicuramente positiva o tuttalpiù nulla in quanto ho una radice quadrata, perciò devo imporre che anche al secondo membro ci sia una quantità positiva o nulla, perciò faccio quella che è chiamata CONCORDANZA SEGNI.
2x-6>=0 x>=3
ora affinchè l’equazione abbia senso, entrambe le condizioni devono avverarsi contemporaneamente, ossia devo trovare l’intersezione tra la CE e la CS (devo metterle a sistema)
ottengo x>=3 cioè le soluzioni devono stare in questo intervallo per essere accettabili.
Ora proseguo con la risoluzione dell’equazione elevando al quadrato entrambe i membri:
x^2+3x-6=4x^2+36-24x
3x^2-27x+42=0
x^2-9x+14=0
si scompone in (x-7)(x-2)
x=2 è accettabile? no poichè 2 è minore di 3
x=7 è accettabile? si poichè 7 è maggiore di 3.
Perciò la soluzione è semplicemente x=7.
Qualche considerazione. Questo metodo può sembrare più complesso, ma permette di dire, senza risolvere l’equazione, se questa ha senso o no. Infatti se la radice non esistesse non avrebbe senso andare a risolvere l’equazione. Inoltre non è necessario andare a sostituire, fare tutti i calcoli (che io personalmente odio), etc, etc.
*in alcuni libri è chiamata CR condizione di realtà.
matematicafacile detto,
Febbraio 25, 2008 @ 9:42 am
Si, questo metodo è sicuramente più elegante e significativo.
grazie.