Esercizio a) Eseguire le seguenti scomposizioni in fattori primi:                                                  (p.3)

1)     

2)     

3)     

4)     

5)     

6)     

7)     

Esercizio b) Calcola mcm ed MCD tra i seguenti polinomi                                                     (p.1)

;        ;  

Esercizio c) Esegui la seguenti divisioni                                                                                  (p.1)

1)    

2)    

Esercizio d) Il polinomio

è divisibile per il binomio ?     Perché?                                                     (p.1)

Esercizio e) Esegui le addizioni e sottrazioni tra le seguenti frazioni algebriche:                        (p.1)

Esercizio f) Si consideri un triangolo qualunque ABC. Da un punto qualsiasi P del lato AC si tracci la parallela alla bisettrice dell’angolo BAC e sia E il punto d’incontro di tale parallela con il prolungamento del lato AB. Dimostrare che:

- il triangolo PEA è isocele;                                                                            (p.1,5)

sia poi D il punto d’intersezione tra il segmento EP e la sua perpendicolare passante per il vertice A, dimostrare che:

                        - il punto D è il punto medio del segmento EP.                                                (p.1,5)

1) Raccoglimento totale a fattor comune (numero qualsiasi di termini)
Si calcola il M.C.D. fra i monomi presenti nel polinomio, lo si pone “in evidenza” davanti a una parentesi e si inserisce nella parentesi il risultato della divisione di ciascun termine del polinomio per il M.C.D. Bisogna fare attenzione ai segni.
Esempi:
24x⁴ + 5x³ - 15x² + 75x = 5x(5x³ + x² – 3x + 15)
12x³ + 4x² – 16x = 4x(3x² + x – 4)

Per essere sicuri di avere scomposto in modo corretto si può fare una verifica: si sviluppa il prodotto tra il monomio e il polinomio tra parentesi (anche mentalmente) e, se la scomposizione è corretta, si deve ottenere il polinomio di partenza.

2) Raccoglimento parziale a fattor comune
E’ la scomposizione che richiede maggiore “occhio”.
L’idea generale è questa. Si raccoglie un fattore comune fra alcuni dei termini presenti. Si raccoglie un altro fattore comune ad altri termini. Se nelle parentesi delle due scomposizioni effettuate si trova lo stesso polinomio, si può mettere in evidenza questa stessa parentesi.
Si vedrà meglio dopo con un esempio.
Naturalmente, la bravura sta nel mettere in evidenza dei fattori che fanno sì che tra parentesi compaia lo stesso polinomio. Non esiste una regola generale; spesso bisogna procedere per tentativi, dal momento che i fattori evidenziabili possono essere più di uno.
Vediamo alcuni esempi:
2x – 2y + x² – xy – 2(x – y) + x(x – y) – (x – y)(2 + x)

Come si vede, nel primo passaggio si sono effettuate due scomposizioni. In entrambe le parentesi compare il binomio (x – y): mettiamolo in evidenza e trattiamolo come se fosse un monomio. Con quali coefficienti (numerici/letterali) compare? +2 e +x (ho evidenziato i segni per non commettere errori).
Tali coefficienti vanno inseriti nella nuova parentesi.
Al solito, per verificare la correttezza della scomposizione si può fare il prodotto tra i binomi così ottenuti e il risultato deve dare il polinomio di partenza.
Il raccoglimento è parziale, perché coinvolge solo una parte dei termini del polinomio.
Si può anche notare che si potevano fare altri tentativi, ad esempio mettere in evidenza la x del primo e del quarto monomio, ma questo tentativo non avrebbe prodotto nulla di buono. Provate.

Vediamo un altro esempio:
6x² – 8xy + 12xy – 16y² – 2x(3x – 4y) + 4y(3x – 4y)

Metto in evidenza il binomio (3x – 4y). Questo compare con coefficienti + 2x e + 4y.
La scomposizione finale pertanto è data da: (3x – 4y)(2x + 4y).

3) Scomposizione del prodotto notevole (2 termini)
In presenza di un binomio composto da due quadrati, separati dal segno meno, riconosciamo il prodotto notevole svolto, del tipo:
(a + b)(a – b) = – a² – b²

La scomposizione in questo caso consiste essenzialmente nel cercare le basi dei quadrati e scrivere “al contrario” questa uguaglianza:
16x² – 9y² = (4x – 3y)(4x + 3y)

Si vede subito che le basi sono rispettivamente 4x e 3y: la scomposizione è data dal prodotto di due binomi, in cui compaiono queste basi intervallate dal segno + in uno di essi e dal segno – nell’altro.

4) Scomposizione del trinomio di secondo grado (3 termini): riconoscimento del quadrato di un binomio
In presenza di tre termini, di cui due risultano essere due quadrati, ricordando la regola del quadrato del binomio
riconosciamo il quadrato del binomio risalendo ai valori iniziali che sono stati elevati al quadrato e prestando particolare attenzione al doppio prodotto, che ci suggerirà il segno nel binomio.
Esempi:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²

Come si vede x² e 25 sono i quadrati di x e 5 rispettivamente. Nel trinomio compare anche +10x, che è proprio il doppio prodotto tra 5 e x. Da queste considerazioni, è immediato il riconoscimento del quadrato del binomio (x + 5).

Un’equazione è irrazionale se contiene almeno un radicale nel cui radicando compare l’incognita.

Ad esempio

, è un’equazione irrazionale;

, non è un’equazione irrazionale.

Data un’equazione A(x)=B(x), consideriamo l’equazione :

·                 se n è pari, essa ha come soluzioni, oltre a quelle di A(x)=B(x), anche quelle di A(x)=-B(x);

·                se n è dispari, essa è equivalente a quella data.

N.B.: Prova a risolvere la seguente equazione

e l’equazione

Si ottengono le stesse soluzioni? Le due equazioni sono equivalenti?

[La prima equazione dà come soluzione , la seconda invece

Per risolvere un’equazione irrazionale

è necessario “liberarci” in qualche modo dei radicali presenti, per ricondurre il problema alla soluzione di una equazione razionale che ci dia buone informazioni sulle soluzioni dell’equazione iniziale. Per fare questo operativamente dobbiamo:

·                 elevare a n entrambi i membri dell’equazione;

·               controllare se n è pari o dispari: se n è dispari, le soluzioni dell’equazione ottenuta sono le stesse dell’equazione irrazionale; se n è pari, possiamo eseguire il controllo delle soluzioni mediante verifica.

Esempio

Elevando entrambi i membri al quadrato otteniamo

Questi valori saranno anche soluzione dell’equazione di partenza?

Per verificarlo sostituiamo 7 e 2 nell’equazione irrazionale data.

Sostituiamo x=7

Le disequazioni irrazionali del tipo  sono equivalenti a un sistema di tre disequazioni:

Mentre le disequazioni irrazionali del tipo hanno come insieme di soluzione l’unione degli insiemi delle soluzioni di due sistemi, ognuno di due disequazioni:

(oppure ₎

La disequazione ha senso quando

N.B.: La prima condizione è necessaria perché esista la radice, la seconda perché se la disuguaglianza in questione non sarà mai verificata (perché si chiede che una quantità positiva al primo membro sia  di una quantità negativa al secondo membro!).

Si ottiene quindi, dopo brevi passaggi,

Le soluzioni accettabili sono quindi

Potrebbe essere utile provare a fare i grafici di

per capire la discussione algebrica del sistema.

7.1.- Equazione canonica di una conica.

Si dice conica l’insieme dei punti del piano le cui coordinate, in un riferimento Oxy, verificano una equazione del tipo:

7.1.1)            

con a, b, c, d, e, f numeri reali non tutti nulli. Il numero reale:

7.1.2)            

si dice determinante della conica d’equazione (7.1.1).

RICORDIAMO CHE

a) Se è D = 0 la conica (7.1.1) si dice riducibile o degenere, e si sdoppia in una coppia di rette eventualmente coincidenti o parallele, che si dicono componenti della conica.

b) Se è  D ¹ 0 la conica (7.1.1) si dice irriducibile o non degenere. Risulta:

     i) la (7.1.1) rappresenta un’ellisse se: ;

    ii) la (7.1.1) rappresenta un’iperbole se: ;

   iii) la (7.1.1) rappresenta una parabola se: .

Notiamo che nell’ipotesi d > 0 la (7.1.1) è:

• un’ellisse reale se aD < 0
• immaginaria se  aD > 0

7.2. Riduzione a forma canonica di una conica non degenere.

L’equazione (7.1.1) di una conica non degenere, scegliendo in modo opportuno il sistema di riferimento Oxy, può sempre scriversi in uno dei seguenti modi:

7.2.1)             Ax² + By² + C = 0     ( ellisse o iperbole )

7.2.2)             Dy² + 2Cx² = 0          ( parabola)

5.1.- Equazione dell’ellisse.

Si dice ellisse il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F₁ e F₂ detti fuochi.

In un riferimento cartesiano Oxy l’equazione canonica dell’ellisse è:

5.1.1)

o equivalentemente:

5.1.2)

con a> b numeri reali non nulli.

Nella figura 1 abbiamo accennato il grafico di un’iperbole .

Se a < b la (5.1.1) rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse y.

Se è a = b rappresenta una circonferenza d’equazione x² + y² = a² , di centro O e raggio a.

RICORDIAMO CHE

a) I punti si dicono vertici dell’ellisse d’equazione (5.1.1);

b) I punti F₁ (- c , 0) e F₂ (c , 0) si dicono fuochi dell’ellisse d’equazione (5.1.1), e la distanza semidistanza focale.
I punti F₁ (0, c) e F₂ (0, -c) sono i fuochi nel caso a < b.

c) La relazione:

5.1.3) a² - c² = b² , ( risp. (5.1.4) c < a )

si dice uguaglianza ( risp. disuguaglianza ) fondamentale dell’ellisse (5.1.1).
Notiamo che se l’ellisse ha i fuochi sull’asse y allora l’uguaglianza fondamentale é: b² - c² = a² (con c < b).

d) Il rapporto:

5.1.5) se a > b

5.1.5’) se a < b

si dice eccentricità dell’ellisse (5.1.1). Risulta: 0 £ e < 1 1

e) I segmenti V₁V₃ , V₂V₄ si dicono rispettivamente asse maggiore e asse minore della (5.1.1), risulta:

;

mentre i segmenti si dicono rispettivamente semiasse maggiore e semiasse minore della (5.1.1), risulta:

f) L’ellisse è simmetrica rispetto agli assi x, y e all’origine O del riferimento: pertanto se il punto P(x,y) appartiene all’ellisse anche i punti:

P₁ ( -x , y) simmetrico di P rispetto all’asse y,

P₂ ( x , y ) simmetrico di P rispetto all’asse x,

P₃ ( -x , -y ) simmetrico di P rispetto ad O,

appartengono all’ellisse.

Il punto O si dice centro di simmetria o semplicemente centro dell’ellisse.

g) Si dice diametro d di un’ellisse la retta passante per i punti medi delle sue corde parallele.

Ogni diametro dell’ellisse (5.1.1) passa per il centro O, ed ha equazione:

5.1.6)

ove m è il coefficiente angolare del fascio ( improprio) di corde parallele d’equazione y = mx + k, ( k parametro reale).

Due diametri d₁ e d₂ si dicono coniugati se i rispettivi coefficienti angolari m₁ e m₂ sono tali che:

5.1.7)

Due diametri coniugati che siano tra loro perpendicolari si dicono assi di simmetria; l’ellisse possiede soltanto due assi di simmetria.

h) Si dicono direttrici dell’ellisse (5.1.1) le rette di equazioni:

5.1.8)

con .

1 Per c = 0 si ha e l’ellisse si riduce ad una circonferenza

3.1.- Equazione della circonferenza.

Si dice circonferenza il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro.

L’equazione di una circonferenza, (fig.1), in un riferimento cartesiano Oxy, è:

RICORDIAMO CHE

• Le coordinate del centro sono calcolabili con le formule:

3.1.2)

La (3.1.2) esprime le coordinate del centro C(x_C ; y_C) in funzione dei coefficienti a e b.

• Il raggio R della circonferenza si può calcolare con la formula:

3.1.3) ( )

La (3.1.3) esprime il raggio della circonferenza in funzione di a, b e c.

• L’equazione della circonferenza di centro C(x_C ; y_C) e raggio R è:

3.1.4)

La (3.1.4) esprime l’equazione di una circonferenza in funzione del centro C e del raggio R.

• L’equazione della circonferenza il centro sull’asse x è:

3.1.5)

• L’equazione della circonferenza con il centro sull’asse y .

3.1.6)

• L’equazione di una circonferenza con il centro nell’origine O degli assi, e raggio , è:

3.1.7)

a)Distanza di un punto da una retta.

La distanza d del punto P(x₀;y₀) da  una  retta  r  ( fig.1)  di  equazione  ax + by + c = 0  è data dalla formula:   

2.5.2)         .

b) Angolo tra due rette.  

L’angolo acuto (fig.2) formato dalle rette r ) y = mx + n  e  r’ ) y = m’x + n’  è dato dalla formula:                                                                    

c) Intersezione tra due rette.

Per calcolare i punti d’intersezione  tra due rette d’equazione:

               r)   ax + by + c = 0        ,      r’)   a’x + b’y + c’ = 0

occorre risolvere il seguente sistema:

2.5.4)            

RICORDIAMO CHE

Un sistema di riferimento cartesiano di una retta r è costituito da un punto O di r, un verso v di r e da un segmento, non nullo, u detto unità di misura del riferimento (fig.1).

Il punto O si dice origine del riferimento cartesiano, il verso di percorrenza sinistra-destra della retta ( indicato dalla freccia) si assume come verso positivo, mentre quello opposto ( destra-sinistra) come negativo.

Si dice ascissa x di un punto P ( fig.2) di una retta , sulla quale sia fissato un riferimento cartesiano, la lunghezza del segmento di estremi O e P misurata rispetto ad u, presa con il segno + ( risp. -) se il punto P segue ( risp. precede) O nel verso positivo.

Per indicare che il numero reale x è l’ascissa del punto P si scrive P(x).

L’ ascissa del punto O è zero, tutti i punti a sinistra di O hanno ascissa negativa, mentre quelli a destra positiva.

Il punto U di ascissa x = 1 si dice punto unitario del riferimento cartesiano di una retta.

Infine, ricordiamo che mediante l’introduzione di un riferimento cartesiano su di una retta si istituisce una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e l’insieme dei numeri reali.

Riferimento cartesiano di un piano. Coordinate polari.

a) Un sistema di riferimento cartesiano monometrico[1] ortogonale del piano, denotato con Oxy, è costituito da una coppia di assi x ed y perpendicolari tra loro nel punto O ( detto origine del riferimento ), e da un’unità di misura u.

Gli assi x ed y si dicono rispettivamente asse delle ascisse ( o asse x ) e asse delle ordinate ( o asse y ).

Si dice ascissa x ( risp. ordinata y) di un punto P del piano, sul quale sia fissato un riferimento Oxy, la lunghezza del segmento (fig.1) aventi per estremi l’origine O e la proiezione del punto P sull’asse x ( risp. y).

Per indicare che il punto P ha coordinate cartesiane x ed y si scrive:

P(x ; y) oppure P(x,y) oppure P º (x ; y).

Il riferimento Oxy divide il piano in quattro quadranti: i punti del 1° quadrante hanno coordinate positive, quelli del 3° negative, invece i punti del 2° ( risp. 4° ) quadrante hanno ascissa ( risp. ordinata) negativa e ordinata (risp. ascissa ) positiva. Le coordinate del punto O sono (0;0), tutti i punti dell’asse x ( risp.y) hanno ordinata ( risp. ascissa) nulla.

Ricordiamo, infine, che mediante l’introduzione di un riferimento Oxy del piano si istituisce una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie di numeri reali.