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7.1.- Equazione canonica di una conica.

Si dice conica l’insieme dei punti del piano le cui coordinate, in un riferimento Oxy, verificano una equazione del tipo:

7.1.1)            

con a, b, c, d, e, f numeri reali non tutti nulli. Il numero reale:

7.1.2)            

si dice determinante della conica d’equazione (7.1.1).

RICORDIAMO CHE

a) Se è D = 0 la conica (7.1.1) si dice riducibile o degenere, e si sdoppia in una coppia di rette eventualmente coincidenti o parallele, che si dicono componenti della conica.

b) Se è  D ¹ 0 la conica (7.1.1) si dice irriducibile o non degenere. Risulta:

     i) la (7.1.1) rappresenta un’ellisse se: ;

    ii) la (7.1.1) rappresenta un’iperbole se: ;

   iii) la (7.1.1) rappresenta una parabola se: .

Notiamo che nell’ipotesi d > 0 la (7.1.1) è:

• un’ellisse reale se aD < 0
• immaginaria se  aD > 0

7.2. Riduzione a forma canonica di una conica non degenere.

L’equazione (7.1.1) di una conica non degenere, scegliendo in modo opportuno il sistema di riferimento Oxy, può sempre scriversi in uno dei seguenti modi:

7.2.1)             Ax² + By² + C = 0     ( ellisse o iperbole )

7.2.2)             Dy² + 2Cx² = 0          ( parabola)

5.1.- Equazione dell’ellisse.

Si dice ellisse il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F₁ e F₂ detti fuochi.

In un riferimento cartesiano Oxy l’equazione canonica dell’ellisse è:

5.1.1)

o equivalentemente:

5.1.2)

con a> b numeri reali non nulli.

Nella figura 1 abbiamo accennato il grafico di un’iperbole .

Se a < b la (5.1.1) rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse y.

Se è a = b rappresenta una circonferenza d’equazione x² + y² = a² , di centro O e raggio a.

RICORDIAMO CHE

a) I punti si dicono vertici dell’ellisse d’equazione (5.1.1);

b) I punti F₁ (- c , 0) e F₂ (c , 0) si dicono fuochi dell’ellisse d’equazione (5.1.1), e la distanza semidistanza focale.
I punti F₁ (0, c) e F₂ (0, -c) sono i fuochi nel caso a < b.

c) La relazione:

5.1.3) a² - c² = b² , ( risp. (5.1.4) c < a )

si dice uguaglianza ( risp. disuguaglianza ) fondamentale dell’ellisse (5.1.1).
Notiamo che se l’ellisse ha i fuochi sull’asse y allora l’uguaglianza fondamentale é: b² - c² = a² (con c < b).

d) Il rapporto:

5.1.5) se a > b

5.1.5’) se a < b

si dice eccentricità dell’ellisse (5.1.1). Risulta: 0 £ e < 1 1

e) I segmenti V₁V₃ , V₂V₄ si dicono rispettivamente asse maggiore e asse minore della (5.1.1), risulta:

;

mentre i segmenti si dicono rispettivamente semiasse maggiore e semiasse minore della (5.1.1), risulta:

f) L’ellisse è simmetrica rispetto agli assi x, y e all’origine O del riferimento: pertanto se il punto P(x,y) appartiene all’ellisse anche i punti:

P₁ ( -x , y) simmetrico di P rispetto all’asse y,

P₂ ( x , y ) simmetrico di P rispetto all’asse x,

P₃ ( -x , -y ) simmetrico di P rispetto ad O,

appartengono all’ellisse.

Il punto O si dice centro di simmetria o semplicemente centro dell’ellisse.

g) Si dice diametro d di un’ellisse la retta passante per i punti medi delle sue corde parallele.

Ogni diametro dell’ellisse (5.1.1) passa per il centro O, ed ha equazione:

5.1.6)

ove m è il coefficiente angolare del fascio ( improprio) di corde parallele d’equazione y = mx + k, ( k parametro reale).

Due diametri d₁ e d₂ si dicono coniugati se i rispettivi coefficienti angolari m₁ e m₂ sono tali che:

5.1.7)

Due diametri coniugati che siano tra loro perpendicolari si dicono assi di simmetria; l’ellisse possiede soltanto due assi di simmetria.

h) Si dicono direttrici dell’ellisse (5.1.1) le rette di equazioni:

5.1.8)

con .

1 Per c = 0 si ha e l’ellisse si riduce ad una circonferenza

3.1.- Equazione della circonferenza.

Si dice circonferenza il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro.

L’equazione di una circonferenza, (fig.1), in un riferimento cartesiano Oxy, è:

RICORDIAMO CHE

• Le coordinate del centro sono calcolabili con le formule:

3.1.2)

La (3.1.2) esprime le coordinate del centro C(x_C ; y_C) in funzione dei coefficienti a e b.

• Il raggio R della circonferenza si può calcolare con la formula:

3.1.3) ( )

La (3.1.3) esprime il raggio della circonferenza in funzione di a, b e c.

• L’equazione della circonferenza di centro C(x_C ; y_C) e raggio R è:

3.1.4)

La (3.1.4) esprime l’equazione di una circonferenza in funzione del centro C e del raggio R.

• L’equazione della circonferenza il centro sull’asse x è:

3.1.5)

• L’equazione della circonferenza con il centro sull’asse y .

3.1.6)

• L’equazione di una circonferenza con il centro nell’origine O degli assi, e raggio , è:

3.1.7)

a)Distanza di un punto da una retta.

La distanza d del punto P(x₀;y₀) da  una  retta  r  ( fig.1)  di  equazione  ax + by + c = 0  è data dalla formula:   

2.5.2)         .

b) Angolo tra due rette.  

L’angolo acuto (fig.2) formato dalle rette r ) y = mx + n  e  r’ ) y = m’x + n’  è dato dalla formula:                                                                    

c) Intersezione tra due rette.

Per calcolare i punti d’intersezione  tra due rette d’equazione:

               r)   ax + by + c = 0        ,      r’)   a’x + b’y + c’ = 0

occorre risolvere il seguente sistema:

2.5.4)            

RICORDIAMO CHE

Un sistema di riferimento cartesiano di una retta r è costituito da un punto O di r, un verso v di r e da un segmento, non nullo, u detto unità di misura del riferimento (fig.1).

Il punto O si dice origine del riferimento cartesiano, il verso di percorrenza sinistra-destra della retta ( indicato dalla freccia) si assume come verso positivo, mentre quello opposto ( destra-sinistra) come negativo.

Si dice ascissa x di un punto P ( fig.2) di una retta , sulla quale sia fissato un riferimento cartesiano, la lunghezza del segmento di estremi O e P misurata rispetto ad u, presa con il segno + ( risp. -) se il punto P segue ( risp. precede) O nel verso positivo.

Per indicare che il numero reale x è l’ascissa del punto P si scrive P(x).

L’ ascissa del punto O è zero, tutti i punti a sinistra di O hanno ascissa negativa, mentre quelli a destra positiva.

Il punto U di ascissa x = 1 si dice punto unitario del riferimento cartesiano di una retta.

Infine, ricordiamo che mediante l’introduzione di un riferimento cartesiano su di una retta si istituisce una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e l’insieme dei numeri reali.

Riferimento cartesiano di un piano. Coordinate polari.

a) Un sistema di riferimento cartesiano monometrico[1] ortogonale del piano, denotato con Oxy, è costituito da una coppia di assi x ed y perpendicolari tra loro nel punto O ( detto origine del riferimento ), e da un’unità di misura u.

Gli assi x ed y si dicono rispettivamente asse delle ascisse ( o asse x ) e asse delle ordinate ( o asse y ).

Si dice ascissa x ( risp. ordinata y) di un punto P del piano, sul quale sia fissato un riferimento Oxy, la lunghezza del segmento (fig.1) aventi per estremi l’origine O e la proiezione del punto P sull’asse x ( risp. y).

Per indicare che il punto P ha coordinate cartesiane x ed y si scrive:

P(x ; y) oppure P(x,y) oppure P º (x ; y).

Il riferimento Oxy divide il piano in quattro quadranti: i punti del 1° quadrante hanno coordinate positive, quelli del 3° negative, invece i punti del 2° ( risp. 4° ) quadrante hanno ascissa ( risp. ordinata) negativa e ordinata (risp. ascissa ) positiva. Le coordinate del punto O sono (0;0), tutti i punti dell’asse x ( risp.y) hanno ordinata ( risp. ascissa) nulla.

Ricordiamo, infine, che mediante l’introduzione di un riferimento Oxy del piano si istituisce una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie di numeri reali.